MENTAL vs. TEORÍA DE
GRUPOS

“La teoría de grupos es el supremo arte de la abstracción matemática” (James R. Newman)

“La teoría de grupos es el lenguaje ‘oficial’ de las simetrías” (Mario Livio)


Teoría de Grupos

La teoría de grupos fue desarrollada por Évariste Galois, a principios del siglo XIX, como consecuencia del estudio de la resolución de la ecuación de quinto grado [Livio, 2005].

La definición moderna de grupo es debida a Arthur Cayley, que en 1854 estableció los axiomas de su definición. En 1878, Cayley descubrió que todo grupo (independientemente del tipo de sus elementos y de la operación definida entre ellos) es isomorfo a un grupo de permutaciones. El concepto de grupo alcanzó entonces su máximo nivel de abstracción y comprensión.

La teoría de grupos se ha aplicado a numerosas ramas de la matemática y de la física, hasta el punto de ser considerada como una auténtica teoría unificadora. Áreas aparentemente no relacionadas (teoría de ecuaciones algebraicas, geometrías, teoría de números, etc.) se unifican mediante la estructura subyacente de grupo.


La definición de grupo

Un grupo es un conjunto G de elementos que tiene las propiedades siguientes:
  1. Operación interna g.
    Hay definida una operación (o ley de composición interna) binaria (•) que hace corresponder a todo par ordenado de elementos (iguales o distintos) de G otro elemento de G. En realidad, es una función g de dos argumentos (elementos de GG. Formalmente, g: G2 → G.

  2. Asociatividad.
    La operación interna es asociativa: x•(y•z) = (x•y)•z.

  3. Elemento neutro.
    Existe un elemento neutro e por la izquierda en G tal que e•x = x para todo elemento x de G.

  4. Elemento inverso.
    Para todo elemento x de G, existe un elemento inverso por la izquierda x’ tal que se cumple x’•x = e. También se suele utilizar la notación x−1 para el elemento inverso.
Si además la operación interna tiene la propiedad conmutativa (x•y = y•x), el grupo se denomina “abeliano”.

Con estos 4 axiomas se demuestra:
  1. Que el elemento neutro por la izquierda es también neutro por la derecha. Es decir, para para todo x de G, se cumple que e•x = x•e = x, y que elemento neutro e es único.

  2. Que el elemento inverso por la izquierda es también el elemento inverso por la derecha, es decir, para todo x de G, se cumple que x•x’ = x’•x = e, y que el elemento inverso de todo elemento x de G es único.
Puede haber grupos finitos o infinitos. El número de elementos de un grupo finito G se denomina “orden del grupo” y se denota por |G|. Hay un solo grupo de un elemento, I = {e}, que cumple e•e = e. En este caso, e es el elemento neutro y su propio inverso. Este grupo se denomina “identidad”.

Hay solo un grupo de 2 elementos, reflejado en esta tabla:

•ea
eea
aae

Se cumple: e2 = a, a2 = e, e•a = a•e = a, en donde usamos la notación exponencial: x2 = x•x.

Hay también solo un grupo de 3 elementos:

•eab
eeab
aabe
bbea

Y hay dos grupos de 4 elementos.


Grupos cíclicos

Un grupo cíclico es un grupo que es generado por un solo elemento. Es decir, hay un elemento a de G (llamado “generador” de G) tal que todos los demás elementos de G (excluyendo el elemento neutro e) se expresan como como potencias de a: a2 = a•a, a3 = a•a•a, etc., siendo la última potencia igual al elemento neutro. Los grupos cíclicos pueden ser finitos o infinitos.

Un ejemplo de grupo cíclico finito de 3 elementos es el definido por la siguiente tabla:

•eaa2
eeaa2
aaa2e
a2eea

Es decir, el único grupo de 3 elementos es cíclico y abeliano. En general, si representamos ai como ai y e como a0, tenemos que ai•aj = ak, siendo k = i+j (módulo n), siendo n = |G|.

El grupo Zn es también un ejemplo de grupo cíclico, en donde 1 es el generador del grupo.


Grupos de simetría

Los grupos de simetría se consideran los “padres” de todos los grupos, y constituyen el marco idóneo para estudiar el concepto fundamental de simetría.

Un grupo de simetría Sn es el conjunto de permutaciones (que son secuencias) de n elementos, y cuyo número es n!. Por ejemplo, para dos elementos, a1 y a2, las permutaciones son P0 = (a1, a2) y P1 = (a2, a1). Se pasa de una a otra invirtiendo el orden. La permutación P0 es la permutación neutra, que deja la permutación como está. La tabla de productos de ambas permutaciones es la siguiente:

•P0P1
P0P0P1
P1P1P0

La expresión Pi•Pj indica aplicar primero la permutación Pj y luego la Pi. P0 y P1 son permutaciones inversas de sí mismas. Por lo tanto, sus cuadrados son la permutación identidad:
Subgrupos, subgrupos normales y grupos simples

Un subgrupo F de un grupo G (F ⊆ G) es un subconjunto de G que tiene estructura de grupo respecto a la misma operación definida en G. Según el teorema de Lagrange, si F es un subgrupo de un grupo finito G, |F| es un divisor de |G|. Dos subgrupos triviales son el propio grupo G y el grupo identidad I.

Un subgrupo normal N de un grupo G es un subgrupo tal que para todo elemento x de G y para todo elemento n de N se cumple que xn = nx. Otra forma de decirlo es que el subgrupo N es invariante por conjugación: xnx’ ∈ N.

Si un grupo G solo tiene como grupos normales los dos triviales, el propio grupo G y el grupo identidad I, entonces se dice que el grupo es simple. Es decir, los grupos simples no contienen subgrupos propios normales.

Todo grupo finito se puede construir mediante una colección de grupos simples finitos; son los constituyentes “atómicos” de los grupos.

Todos los grupos abelianos, salvo los de orden primo, tienen subgrupos propios normales. Todos los grupos abelianos de orden primo son simples.

El calificativo de “simple” a un grupo no indica que sea sencillo; solo indica que no es descomponible en subgrupos. Los grupos simples más sencillos son los abelianos. Los grupos simples fueron descubiertos por Galois al investigar las posibles soluciones de la ecuación de quinto grado.

Los grupos simples se comportan como los números primos: no se pueden descomponer en subgrupos propios normales. Pero, al contrario que los números primos, su número es finito. El mayor grupo simple finito, llamado “el monstruo”, es de orden

808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 ≃ 8 · 1053.



Grupos isomorfos

Dos grupos son isomorfos cuando puede establecerse una correspondencia biunívoca f entre los elementos de ambos grupos, de tal manera que se preservan las relaciones internas: si x•y = z, entonces f(x)•f(y) = f(z)

Según el teorema de Cayley, todo grupo finito es isomorfo a un grupo de simetría. Es decir, la estructura de un grupo de orden n es la misma que un grupo de permutaciones del mismo orden n. Por lo tanto, todos los grupos se fundamentan en los grupos de simetría.


Grupos alternados

Un grupo alternado An es un grupo de simetría constituido por las permutaciones pares de n elementos. Dos elementos están en inversión cuando su orden difiere de la permutación principal. Una permutación par es una permutación con un número par de inversiones. Una permutación impar es una permutación con un número impar de inversiones. Las permutaciones pares y las impares tienen n!/2 elementos. Por ejemplo, en la permutación 2134, los elementos 1 y 2 están invertidos respecto a la permutación principal 1234. En 2431 hay 4 inversiones: 2-1, 4-3, 4-1 y 3-1.

Un ejemplo de grupo alternado (A4) generado por 4 elementos es:

1234214331244132
1342231432414213
1423243134124321

Un grupo alternado An es un grupo simple cuando n≥5. Esta es precisamente la razón por la que la ecuación de quinto grado (la quíntica) es irresoluble por radicales. A5 es el más pequeño de los grupos alternados simples y su orden es 5!/2 = 60.


El programa de Erlangen

El programa de Erlangen es un programa de investigación reflejado en un artículo publicado por Felix Klein en 1872 cuando era profesor en Erlangen (Alemania). En él propuso un nuevo enfoque en el estudio de la geometría.

La aparición de nuevas geometrías no euclidianas y la irrupción de métodos algebraicos y analíticos frente a las concepciones sintéticas e intuitivas, hicieron cuestionar los fundamentos de la geometría tradicional. Klein propuso definir de manera formal cada tipo de geometría mediante un conjunto de transformaciones que dejan invariantes a los objetos, sin hacer referencia alguna a dichos objetos geométricos. Cada geometría específica está definida por ciertas propiedades que no cambian (son invariantes) cuando se les aplica un tipo de transformaciones. Ese conjunto de transformaciones tienen estructura de grupo bajo la operación de composición de transformaciones.

Por ejemplo, la geometría euclidiana es el grupo de las simetrías, giros y traslaciones (grupo métrico). La geometría afín es el grupo de las traslaciones. La geometría proyectiva es el grupo de las proyecciones. La topología es el grupo de las transformaciones continuas.

El artículo de Klein supuso un hito en geometría y en la matemática en general. Con Klein, las diferentes geometrías se pudieron definir de manera rigurosa.


Ecuaciones Polinómicas de una Variable

Relaciones verticales entre raíces y coeficientes

Una ecuación polinómica de una variable tiene la forma en donde los ai son números reales o complejos y n es el grado de la ecuación. Como se puede dividir por an, podemos considerar que una ecuación polinómica tiene la forma Según el teorema fundamental del álgebra (demostrado por Gauss), en una ecuación polinómica existen n soluciones o raíces r1, … , rn. Una ecuación polinómica es una expresión superficial, por lo que, en general, es muy difícil resolverla, es decir, obtener sus raíces. Es más sencillo partir de su estructura profunda y, aplicando, el principio de causalidad descendente, obtener la expresión superficial. La estructura profunda de la ecuación polinómica es Puede haber raíces repetidas, como en la ecuación de grado 5 (x−a)2(x−b)3, donde hay 2 raíces iguales a a y 3 raíces iguales a b.

Veamos cómo se va desarrollando la ecuación superficial a medida que vamos aumentando el grado de la ecuación a partir del grado inicial n=1. Vamos a utilizar la notación ai,j para referirnos al coeficiente de xj de la ecuación de grado i. Como puede verse, la estructura de una ecuación polinómica es fractal porque todas las ecuaciones tienen la misma estructura, es decir, se aplica el mismo mecanismo en cada nivel a partir del grado inmediato inferior. Por lo tanto, para obtener una ecuación resoluble de grado n, elegimos unos valores cualesquiera para r1, … , rn. A partir de ellos se van construyendo, de manera ascendente, los coeficientes para los grados 1, ... , n.

Por ejemplo, para n=3 y r1=1, r2=3, r3=5, tenemos:

a1,0 = −r1 = −1
a2,1 = a1,0 − r2 = −1 – 3 = −4
a2,0 = −a1,0r2 = 1−3 = 3
a3,2 = a2,1 − r3 = −4 – 5 = −9
a3,1 = a2,0 − a2,1r3 = 3 + 4·5 = 23
a3,0 = −a2,0r3 = −r1r2r3 = −1·3·5 = −15

La ecuación es x3 − 9x2 + 23x − 15 = 0 que equivale a (x – 1)(x – 3)(x – 5) = 0

En vez de realizar un proceso recursivo, también se pueden calcular los coeficientes directamente mediante la fórmula general siendo Pn,i la suma de los productos de n raíces tomadas de i en i. Cuando todas las raíces son iguales (r), la ecuación polinómica toma la forma siendo Cn,i el número de combinaciones de n elementos tomados de i en i. La ecuación equivale a (x−r)n = 0.

Desde el punto de vista dimensional, todos los términos tienen dimensión n, siendo 1 la dimensión de cada una de las raíces. Hay simetría en los coeficientes: entre an,j y an,n−j, desde j=1 hasta j=n−1. Si n es par, hay n/2 pares de coeficientes duales. Si n es impar hay (n−1)/2 pares de coeficientes duales y hay un coeficiente (el central) que es dual de sí mismo.

Por lo tanto, los coeficientes de la ecuación son manifestaciones de las raíces. Las raíces están codificadas o encriptadas en los coeficientes de la ecuación. Hay una conexión entre lo profundo (las raíces) y lo superficial (los coeficientes). Las raíces pueden permutar (hay n! permutaciones posibles) pero los coeficientes correspondientes son invariantes.


Relaciones horizontales entre las raíces

En la ecuación de segundo grado x2 + a2,1x + a2,0 = 0 sus dos raíces son: Estas dos raíces cumplen las relaciones horizontales En estas relaciones, las raíces son intercambiables. Pueden permutar y las relaciones siguen siendo válidas.

En la ecuación x4 = 4, sus raíces son: r1 = 2, r2 = −2, r3 = 2i, r4 = −2i. Se cumplen las relaciones horizontales En este caso, las 4 raíces no son intercambiables. Solo son intercambiables r1 y r2, así como r3 y r4. De las 4! = 24 permutaciones posibles de las raíces, hay solo 4 que preservan estas relaciones:
Grupo de Galois

El grupo de Galois asociado a una ecuación polinómica de grado n es el mayor de los subgrupos del grupo de permutaciones de los n elementos tales que hacen invariantes las relaciones horizontales entre las raíces. Dicho de otra forma, se preservan las 4 operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división). El grupo de Galois indica el “perfil de simetría” de una ecuación polinómica. Si no hay relaciones entre las raíces, el grupo de Galois es Sn, el conjunto de todas las permutaciones de n elementos.

Galois demostró que, para cualquier grado n, siempre es posible encontrar ecuaciones para las que el grupo de Galois sea todo el Sn. En otras palabras, en cualquier grado hay ecuaciones que poseen la máxima simetría posible.

Galois creó el concepto de grupo de simetrías para resolver el problema de las ecuaciones polinómicas y para descubrir por qué la ecuación de quinto grado (la quíntica) no podía resolverse mediante radicales (raíz cuadrada, raíz cúbica, etc.). Solo existen soluciones con radicales si y solo si el grupo de Galois correspondiente tiene una estructura particularmente simple. Es lo que se denomina un “grupo resoluble”. En las ecuaciones de 2º, 3º y 4º grado (cuadrática, cúbica y cuártica) los grupos de Galois son siempre resolubles, por lo que las soluciones son expresables mediante radicales. Pero el grupo de simetrías de la quíntica no es resoluble, por lo que no puede expresarse mediante radicales.

A partir de las propiedades de un grupo de Galois se puede determinar si una ecuación se puede resolver o no mediante radicales (raíz cuadrada, raíz cúbica, etc.), sin necesidad de conocer las raíces de la ecuación.

Galois utilizó las siguientes definiciones:
Teoría de Grupos vs. MENTAL

El grupo como arquetipo matemático

Se ha sugerido que el concepto matemático de grupo (en particular, los grupos de simetría) puede considerarse un arquetipo matemático de orden o de estructura. Desempeñaría un papel análogo al de simetría en física.

Lo que sí se puede afirmar es que este concepto está muy conectado con el tema de los arquetipos de la conciencia por varias razones:
Teoría de grupos vs. MENTAL

Hay diferencias y analogías entre la estructura de grupo y las primitivas de MENTAL:
Definición de grupo en MENTAL

La definición de grupo G puede hacerse simbolizando la operación interna de manera infija (entre los dos argumentos) o como prefijo de los dos argumentos. Aquí vamos a utilizar la forma prefija, como una función de nombre g.
  1. Operación interna g.
    ⟨( x∈G → y∈G → g(x y)∈G )⟩

  2. Elemento neutro e.
    ⟨( x∈G → e∈G → (g(x e) = x) )⟩
    ⟨( g(x e) = g(e x)) )⟩

  3. Elemento inverso x' de x.
    ⟨( x∈G → x'∈G → e∈G → (g(x x') = e) )⟩
    ⟨( g(x x’) = g(x' x) )⟩

  4. Asociatividad.
    ⟨( x∈G → y∈G → z∈G → (g(x y) z) ≡ g(x g(y z)) )⟩
Para un grupo abeliano, adicionalmente,

Adenda

Polinomios simétricos elementales

Los polinomios simétricos elementales son los que están formados por suma de productos de variables diferentes y que no varían al permutar sus variables. Por ejemplo, x+y y xy son polinomios simétricos elementales. No lo son 3x+y ni xy+z.

El teorema fundamental de los polinomios simétricos (de Lagrange) afirma que todo polinomio simétrico de n variables puede ser expresado como un polinomio de polinomios simétricos elementales. Por ejemplo, siendo α = x + y   y   β = xy.

Como hemos visto, todo polinomio de grado n2 se puede expresar mediante polinomios simétricos elementales Pn,i de las n raíces de la ecuación polinómica.


El teorema de Noether

En física, la simetría fue utilizada por Emmy Noether para demostrar el teorema que lleva su nombre y que es un resultado central en física teórica. Este teorema expresa que cualquier simetría diferenciable proveniente de un sistema físico tiene su correspondiente ley de conservación. A cada simetría continua le corresponde una ley de conservación y viceversa.


Bibliografía